直角三角形与动态问题（1）——中考备考系列[尖子生之路]
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直角三角形与动态问题（1）
【试题1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ ．
【图文解析】
根据已知条件，通过画图，要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形只有下列两种情况：
①AQ＝PQ且∠BQP＝90°（如图①）；
②AQ＝PQ且∠BPQ＝90°（如图②）．
第一种情况分析如下：
由tanB＝PQ/BQ＝AC/BC得：
x/(10-x)=6/8，解得x=15/7．
当然也可由△PBQ∽△ABC求得．
第二种情况分析如下：
由sinB＝PQ/BQ＝AC/AB，得：
x/(10-x)=6/10，解得x=15/4．
当然也可由△PBQ∽△ABC求得．
综上所述，AQ=15/7或15/4．
【试题2】如果三角形的两个内角α 与β 满足 2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是”准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B=____;
(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是”准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7，CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是”准互余三角形”,求对角线AC的长.
【图文解析】
(1)根据“准互余三角形“的定义可得2∠B+∠A=90°,所以∠B＝0.5(900-∠A)=150.
(2)若存在一点E，使得△ABE也是准互余三角形，则2∠EBA+∠EAB＝900.
显然需将2∠EBA转化为一个角，可利用角平分线的对称性，构造射线BF,交AE的延长线于F，使∠ABF＝2∠EBA.则有∠AFB＝900，如下图示：
进一步，根据两角相等，不难得到：△BEF∽△BAC，根据相似的性质，可得： BF：EF＝BC：AC＝5：4，可设BF＝5t，EF=4t.如下图示：
在Rt△AEC中，CE＝AC/tan∠AEC＝AC/tan∠BEF＝4÷(5t)/(4t)=3.2
BE=BC-CE=5-3.2=1.8.
（3）类似（2），先将∠ABD=2∠BCD通过对称进行转化：作△BCD关于BC对称的△BCE，可得到BE＝BD，CD＝CE＝12，∠DCE＝2∠BCD，从而得到∠ABD＝∠DCE.如下图示：
【图文解析】
在四边形BDCE中，∠BDE＝∠E＝900，由四边形内角和的定理可得∠DBE+∠DCE＝1800，进一步，得∠ABD+∠DBE＝1800，即A、B、E三点共线.
又△ABC是"准互余三角形",根据定义可得:2∠ACB+∠BAC=90°或2∠BAC+∠ACB=90°.
由于2∠ACB+∠BAC＜ACE+∠BAC＝900，所以只有2∠BAC+∠ACB=90°存在.又因∠E＝900,得∠ACE+∠CAE=900,所以2∠BAC+∠ACB=∠ACE+∠CAE,如下图示：
【变式训练】
如图,在四边形ABCD中, CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是”准互余三角形”,AC＝20，求AB的长.
答案：AB＝7.
【试题3】已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点(不包括端点)，且DC/BE=AC/BC=m，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图①，过点E作EH⊥AB于点H，连接DH．
①
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m＝√2/2，求证AE＝DF；
(2)如图②，若m＝3/5，求DF/AE值.
②
【图文解析】
(1) ①由三角函数的定义或相似，结合已知条件不难得到HE＝DC，如下图示：
由EH⊥AB及∠BAC＝900可得：
HE∥AC，即HE∥DC；在Rt△ABC和Rt△BEH中，sinB=HE/BE=AC/BC，而DC/BE=AC/BC，得HE/BE=DC/BE，所以HE＝DC；因此四边形DHEC是平行四边形.
②当m＝√2/2时，sinB=AC/BC＝m=＝√2/2，可得∠B＝450．即△ABC和△BEH均为等腰直角三角形．
进一步地，得到：
因此，△AEH≌△DAF，得到AE＝DF.
(2)当m＝3/5时，如下图示：
不难证得△AHE∽△DAF，得到DF/AE＝AD/AH.
另一方面，由（1）知：sin∠B＝HE/BE＝AC/BC＝m＝3/5，且HE＝DC，可设HE＝DC＝3a，AC=3b，则BE＝5a，BC=5b，进一步，得：（如下图示）
所以AH＝4（b-a），AD=3(b-a)，得到AD/AH＝3/4.
综上可得，DF/AE＝3/4.
【拓展延伸】
已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别为AC，BC边上的点(不包括端点)，且DC/BE=AC/BC=3/5，且D是AC的中点，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．求MF/MD值.
答案：9：16.
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【试题4】在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.
【图文解析】
（1）先证：∠Q＝∠PAC＝α.如下图示：
方法一：分别在Rt△APC和Rt△QPH中，根据"直角三角形两锐角互余",得:∠Q＝90°－∠1，∠PAC＝90°－∠1，从而∠Q＝∠PAC＝α.
方法二：分别在Rt△APC和Rt△QPH中，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内容和”，得：∠APB＝90°+∠PAC＝90°+∠Q，从而∠Q＝∠PAC＝α.
再求∠AMQ的大小，如下图示：
在△BQM中，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内容和”，得：∠AMQ＝∠B+∠Q＝45°+α.
延伸：若点P在直线BC上呢？并画出相应的图形.（解法类似）
（2）先探索：线段MB与PQ之间的数量关系.可以将P点特殊化.当P点与B点重合时，如下图示：
显然，△PAQ为等直角三角形，因此PQ＝根号2×MB，即MB＝2分之根号2×PQ.再通过度量，大胆猜想：MB＝2分之根号2×PQ.
由“根号2”自然联想到“45°的角（或等腰直角三角形）”，当然应该与BM和PQ紧密相关的45°的角，同时PQ＝2PC＝2CQ，只要与PC、BM或CQ相关的角即可。由于∠B是现成的45°的角，可加以充分利用，由此可添加如下图所示的辅助线：
由已知可得AP＝AQ，PQ＝2PC＝2CQ，同时△BME是等腰直角三角形，得到BM＝根号2×ME.接着只须考虑：ME＝CP（或CQ）？可找到对应的两个三角形，如下图示：
显然已有∠1＝∠2，∠3＝∠4，只需再一对应边相等，就可以了。结合已有条件AP＝AQ，只需证明AQ＝QM即可.
如上图示，不难证得：∠QAB＝45°+∠2，∠AMQ＝45°+∠1，∠1＝∠2，从而∠QAB＝∠AMQ，得到AQ＝AM，进一步得到AP＝QM，从而得到△ACP≌△QME，所以ME＝CP，因此：
答案如下：
PQ=MB.理由如下：
连接AQ，过点M做ME⊥QB，
∵AC⊥QP,CQ=CP,∴∠QAC=∠PAC=α,
∴∠QAM=α+45°=∠AMQ,∴AP=AQ=QM,
拓展：若点P在直线BC上呢？
（解法类似，结论完全相同.）
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